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探索勾股定理

課程簡介

一：情景導(dǎo)入課題：探索勾股定理 二：探究活動： 在網(wǎng)格紙中探究：以等腰直角三角形三邊為邊長向外作正方形A，B，C，探究三個正方形的面積與中間等腰直角三角形三邊的關(guān)系。得出：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 三：探究活動： 在網(wǎng)格紙中探究：以任意直角三角形三邊為邊長向外作正方形P，Q，R，探究三個正方形的面積與中間直角三角形三邊的關(guān)系。得出：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 在這里：探究R的面積時，不能用數(shù)網(wǎng)格直接求出，用到了“割補法”。 四：發(fā)現(xiàn)結(jié)論 勾股定理： 文字語言：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 符號語言：在Rt△ABC中,∠C= 90°,則 AC2+BC2=AB2 (或a2+b2=c2 )

設(shè)計思路

一：由數(shù)學(xué)小故事導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究熱情。 二：探究活動：先由等腰直角三角形探究勾股定理，再到一般直角三角形探究勾股定理，都能得到直角三角形三邊關(guān)系。由特殊到一般符合學(xué)生認知規(guī)律，順理成章得到結(jié)論。 三：學(xué)生通過探究活動，經(jīng)歷觀察，分析，計算，歸納得出“勾股定理”。

勾股定理知識點歸納筆記

勾股定理知識點歸納

1、勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a+b=c

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，a+b=c，那么這個三角形是直角三角形。

3、勾股數(shù)：滿足a+b=c的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

常用的勾股數(shù)及其通用公式：

1)3n,4n,5n(n是正整數(shù))

例如：(3、4、5)，(6、8、10)......

2) 2n+1,2n+2n，2n+2n+1(n是正整數(shù))

例如：(5,12,13)，(7,24,25)......

注意：常用簡單的勾股數(shù)需牢記，出卷老師常以此做文章出考題。

2.1、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想：就是通過數(shù)和形之間的對應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法。使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”，和“以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.

2.2、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想是指將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題。

2.3、分類討論的思想

分類討論的思想是指把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，或者有些問題包括多種情況時，要分情況討論。運用分類討論思想時要注意：每一次分類要按照同一標準;分類時要做到不重不漏。

2.4、函數(shù)思想(或函數(shù)與方程的思想)

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的思維策略。

重要領(lǐng)悟：利用勾股定理，建立方程是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，設(shè)未知數(shù)把未知的量與已知的量集中到同一個直角三角形中，再通過勾股定理建立方程，然后再解方程得解。

勾股定理必背10個公式

1、勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。

2、這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”。

3、 勾股定理(又稱商高定理，畢達哥拉斯定理)是一個基本的幾何定理，早在中國商代就由商高發(fā)現(xiàn)。

4、據(jù)說畢達高拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。

5、 勾股定理指出： 直角三角形兩直角邊(即“勾”，“股”)邊長平方和等于斜邊(即“弦”)邊長的平方。

6、 也就是說， 設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼 a2 + b2 = c2 勾股定理現(xiàn)發(fā)現(xiàn)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。

7、 勾股數(shù)組 滿足勾股定理方程a2 + b2 = c2的正整數(shù)組(a,b,c)。

8、例如(3,4,5)就是一組勾股數(shù)組。

9、 由于方程中含有3個未知數(shù)，故勾股數(shù)組有無數(shù)多組。

10、 推廣 如果將直角三角形的斜邊看作二維平面上的向量，將兩斜邊看作在平面直角坐標系坐標軸上的投影，則可以從另一個角度考察勾股定理的意義。

11、即，向量長度的平方等于它在其所在空間一組正交基上投影長度的平方之和。

12、在直角三角形中,兩直角邊的平方和等斜邊的平方。

13、a^2+b^2=c^2。

勾股定理的算法

勾股定理,直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

A²+B²=C²

C=√(A²+B²)

√(120²+90²)=√22500=√150²=150

例如直角三角形 的三條邊是3(直角邊)、4(直角邊)、5(斜邊)

3²+4²=5²

5=√(3²+4²)=√5²=5

勾股定理證明最簡單的方法

勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的證明方法有很多，一起看一下具體內(nèi)容。

最簡單的勾股定理證明方法

做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像下圖那樣拼成兩個正方形。

發(fā)現(xiàn)四個直角三角形和一個邊長為a的正方形和一個邊長為b的正方形，剛好可以組成邊長為，斜邊長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.

過點Q作QP∥BC，交AC于點P

過點B作BM⊥PQ，垂足為M;再過點

F作FN⊥PQ，垂足為N.

∵∠BCA=90°，QP∥BC

∴∠MPC=90°

∵BM⊥PQ

∴∠BMP=90°

∴BCPM是一個矩形，即∠MBC=90°

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°

∴∠QBM=∠ABC

又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA

同理可證RtΔQNF≌RtΔAEF

即a2+b2=c2。

三角形三邊公式定理

三角形的三邊關(guān)系定理：三角形第三邊小于兩邊之和，大于兩邊之差。可以表示為兩邊之差<第三邊<兩邊之和。

三角形的三邊關(guān)系定理

設(shè)三邊為a,b,c,則有

a+b>c

a+c>b

b+c>a

三邊關(guān)系推論：a>b-cc>b-ab>a-c

三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用

①判斷三條已知線段能否組成三角形;

②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍;

③證明線段不等關(guān)系。

特殊

直角三角形

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余。

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。

等腰直角三角形

等腰直角三角形三邊之比：1：1：根號二。

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